二、确知信号
\[\def\e{\mathrm{e}} \def\d{\mathrm{d}} \def\g{\mathrm{g}} \def\j{\mathrm{j}} \def\Sa{\mathrm{Sa}} \def\fr{\mathscr{F}} \def\rect{\mathrm{rect}} \def\Fourier{\xrightarrow{\fr}}\]信号的类型
周期信号与非周期信号
确知信号和随机信号
- 确知信号：可用明确的数学表达式表示
- 随机信号：具有统计规律性，符合概率分布
能量信号和功率信号
归一化功率
电流在单位电阻（$1\Omega$）上消耗的功率：
\(P=V^2/R=I^2R=V^2=I^2 \ (\text{W})\)
信号能量
\[E=\int_{-\infty}^{+\infty} s^2(t) \mathrm{d}t\]平均功率
\[P=\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s^2(t) \mathrm{d}t = \overline{s^2(t)}\]能量信号：$0<E<+\infty$，$P=0$
功率信号：$E=+\infty$，$0<P<+\infty$
说明
实际通信系统中的信号能量和持续时间都是有限的严格都属于能量信号，使用功率信号是便于数学上定量分析
对时间持续很长的信号如直流信号、周期信号、 随机信号可近似认为是功率信号
确知信号分析
时域表示法
信号的电压 电流大小随时间的变化，是信号的外在表现形式
频域表示法
表示信号各频率成份的大小和组成，反映信号的本质结构
时域分析
是以时间作为轴线观察事物的方法
频域分析
将时域波形的频率成分总结出来
傅里叶分析
见《零、预备知识》
能量信号的能量谱密度
Parseval定理
\[E = \int_{-\infty}^{+\infty} |S(f)|^2 \mathrm{d}f = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |S(\omega)|^2 \mathrm{d} \omega\]能量谱密度
\[G(f) = |S(f)|^2 \ (\mathrm{J/Hz})\]由于$s(t)$为实函数，$G(f)$为偶函数，有
\[E = 2 \int_0^{+\infty} G(f) \mathrm{d} f\]功率信号的功率谱密度
功率谱密度
\[P(f) = \lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} |S_T(f)|^2\]信号功率
\[P = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} |S_T(f)|^2 \mathrm{d}f = \int_{-\infty}^{+\infty} P(f) \mathrm{d}f\]周期性信号功率
\[P = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} s^2(t) \mathrm{d}t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |C_n|^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} |C(f)|^2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(f-nf_0) \mathrm{d} f\] \[P(f) = |C(f)|^2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(f-nf_0)\]自相关函数
实能量信号
\[R(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d}t\]实功率信号
\[R(\tau) = \lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d}t\]周期信号
\[R(\tau) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d}t\]性质
- 偶函数：$R(\tau) = R(-\tau)$
- 原点有最大值：$R(\tau)\leq R(0)$
相关定理
- 能量信号的自相关函数与能量谱密度互为付氏变换
- $E=R(0)$
- 功率信号的自相关函数与功率谱密度互为付氏变换
- $P=R(0)$
信号带宽
信号的能量或功率主要部分集中的频率范围，只按正频率计算，记作$B$，单位Hz
主要能量带宽
等效矩形带宽
设能量谱（功率谱）在0频点有最大值，则$P=2BP(0)$
3dB带宽
$P(f_m)=P(0)/2$，$B=f$
主瓣带宽（第一零点带宽）
信号通过线性系统
线性时不变系统
- 线性：满足叠加定理
- 时不变：系统特性不随时间变化
系统特性-传递函数
输入冲激函数$δ(t)$称作系统的激励，通过系统后的输出$h(t)$叫作响应
$h(t)$称为单位冲激响应，$H(ω)$称作传递函数，表示系统的传输特性
$S_o(\omega) = S_i(\omega) H(\omega)$
响应的能量谱和功率谱
- 能量信号： $E_o(\omega) = E_i(\omega)|H(\omega)|^2$
- 功率信号： $P_o(\omega) = P_i(\omega)|H(\omega)|^2$
无失真传输
- 时域条件： $s_o(t) = k s_i(t - t_d)$
-
频域条件： $H(\omega) = k\e^{-\j \omega t_d}$
- 理想系统的幅频特性是常数，相频特性是过原点的一条直线；非理想时可产生线性失真
理想滤波器
LPF、HPF和BPF
传输衰减与增益
通信系统中一般使用功率增益，单位dB，$10\lg \frac{P_o}{P_i}$
